आदर्श गैस के लिए स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)$ तथा स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$ के बीच संबंध को Mayer का सूत्र कहते हैं।
$C_p - C_v = R$
जहाँ,
$C_p$=स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा
$C_v$=स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा
$R = 8.314\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}$
जब किसी आदर्श गैस को स्थिर दाब पर गरम किया जाता है, तो दी गई ऊष्मा का एक भाग गैस द्वारा किए गए कार्य में व्यय होता है, जबकि स्थिर आयतन पर कोई कार्य नहीं होता। इसी कारण $C_p > C_v$ होता है तथा दोनों का अंतर $R$ के बराबर होता है।
Proof :
हम जानते हैं कि:
आदर्श गैस समीकरण: PV = nRT
ऊष्मा का पहला नियम (First Law of Thermodynamics):
$\Delta Q = \Delta U + W$
1. स्थिर आयतन पर (At Constant Volume)}
चूँकि आयतन स्थिर है, ( $\Delta V= 0$)
कार्य : $W = P \Delta V=0$
अतः $\Delta Q = \Delta U = n C_v \Delta T$
$\Delta U= n C_v \Delta T$
2. स्थिर दाब पर (At Constant Pressure)}
कार्य : $W = P \Delta V$
ऊष्मा: $\Delta Q = \Delta U + P \Delta V$
अब, $\Delta Q = n C_p \Delta T$
आदर्श गैसों के लिए, आंतरिक ऊर्जा $\Delta U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है, न कि दाब या आयतन पर। इसका अर्थ है कि चाहे गैस को स्थिर आयतन (constant volume) पर गर्म किया जाए या स्थिर दाब (constant pressure) पर — अगर तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ समान है, तो internal energy का परिवर्तन भी समान रहेगा।
और $\Delta U = n C_v \Delta T$)
अतः:
$n C_p \Delta T = n C_v \Delta T + P \Delta V$
आदर्श गैस समीकरण से \( P \Delta V \)
$P \Delta V = n R \Delta T$
$n C_p \Delta T = n C_v \Delta T + n R \Delta T$
दोनों पक्षों से ( $n \Delta T$) हटाएं:
$C_p = C_v + R$
अतः सिद्ध हुआ:
$C_p - C_v = R$