Param Himalaya - परम हिमालय

Topic : LAW OF EQUIPARTITION OF ENERGY What do you mean by the law of equipartition of energy? Find an expression for the total energy of a system. Consider a molecule of gas of mass (m), moving with velocity (v). The translational kinetic energy of the molecule is given by: $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$ $\left( \therefore v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \right) \quad \text{...(1)}$ $= \frac{1}{2}mv_x^2 + \frac{1}{2}mv_y^2 + \frac{1}{2}mv_z^2$ But the mean or average translational kinetic energy of a gas molecule is given by: $< E > = < \frac{1}{2}mv_x^2 > + < \frac{1}{2}mv_y^2 > + < \frac{1}{2}mv_z^2 > = \frac{3}{2}kB T \quad \text{...(2)}$ Since all the three directions i.e., x-axis, y-axis, z-axis are equally preferred, so the average kinetic energy of the gas molecule along all the three directions is equal. Thus, from equation (2): $< \frac{1}{2}mv_x^2 > = < \frac{1}{2}mv_y^2 > = < \frac{1}{2}mv_z^2 > = \frac{1}{2...

तापमान का गतिज व्याख्या कीजिए और परम शून्य तापमान को परिभाषित कीजिए।   गतिज सिद्धांत के अनुसार, एक मोल आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दाब है  $P = \frac{1}{3} \rho v_{\text{rms}}^2 = \frac{1}{3} \frac{M}{V} v_{\text{rms}}^2 \quad \left( \because \rho = \frac{M}{V} \right)$ या   $PV = \frac{1}{3} M v_{\text{rms}}^2$ एक मोल आदर्श गैस के लिए, गैस समीकरण है   $PV = RT$ $\therefore \frac{1}{3} M v_{\text{rms}}^2 = RT \tag{1}$ या  $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \tag{2}$ जहाँ ( M) = गैस का आणविक द्रव्यमान।   परंतु   $M = m N_A$ जहाँ ( $N_A$ ) = एवोगैड्रो संख्या और ( m ) = एक अणु का द्रव्यमान।   अतः समीकरण (i) को  इस प्रकार लिखा जा सकता है   $\frac{1}{3} m N_A v_{\text{rms}}^2 = RT$ दोनों पक्षों को ($\frac{3}{2}$) से गुणा करने पर हमें मिलता है:   $\frac{1}{2} m N_A v_{\text{rms}}^2 = \frac{3}{2} RT$ $ \frac{1}{2} m v_{\text{rms}}^2 = \frac{3}{2N_A} RT$ लेकिन ( $\frac{R}{N_A} = k_{B}$ ),  बोल्...

गैस के दाब और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध सिद्ध कीजिए कि किसी गैस की प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा, गैस द्वारा लगाए गए दाब का ( $\frac{3}{2}$) गुना होती है।   हम जानते हैं, गैस द्वारा लगाया गया दाब है  $$P = \frac{1}{3} \rho v_{\text{rms}}^2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \rho v_{\text{rms}}^2$$ $$P= \frac{2}{3} E \tag{1}$$ जहाँ  $$E = \frac{1}{2} \rho v_{\text{rms}}^2$$ गैस की प्रति इकाई आयतन औसत अनुवाद गतिज ऊर्जा है।   अतः   $$E = \frac{3}{2} P \tag{2}$$ $$P = \frac{2}{3} E$$ इस प्रकार, गैस की प्रति इकाई आयतन औसत अनुवाद गतिज ऊर्जा, गैस द्वारा लगाए गए दाब का ( $\frac{3}{2}$) गुना होती है। 

आदर्श गैस का दाब (Pressure of an Ideal Gas) :  मान लीजिए कि एक घनाकार पात्र है जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई $L$ है और उसकी दीवारें पूर्णतः प्रत्यास्थ (perfectly elastic) हैं। इसमें $N$ अणु हैं, प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है। अणुओं की गतियाँ क्रमशः $C_1, C_2, \dots, C_n$ हैं। निर्देशांक अक्ष $X, Y, Z$ घन की भुजाओं के समानांतर हैं। वेग के अवयव क्रमशः $u, v, w$ हैं।   $C_1^2 = u_1^2 + v_1^2 + w_1^2 \quad ...(1)$ $C_2^2 = u_2^2 + v_2^2 + w_2^2 \quad ...(2) $ $C_n^2 = u_n^2 + v_n^2 + w_n^2 \quad ...(3)$ मानो कि कोई एक अणु किसी क्षण $C_1$ वेग से गति कर रहा है। यह अणु $X$-दिशा में गति करता हुआ वेग के $X$-घटक $u_1$ से पात्र की दीवार $abcd$ से टकराता है।  टक्कर प्रत्यास्थ होने से अणु की गतिक ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है, केवल वेग की दिशा विपरीत हो जाती है। अतः दीवार $abcd$ से टकराने पर अणु का वेग घटक $u_1$ से परिवर्तित होकर $-u_1$ हो जाता है।   दीवार से टकराने से पूर्व अणु का $X$-दिशा में संवेग: $p_{\text{initial}} = m u_1$ दीवार से टकराने के पश्चात अणु का $X$-दिशा में स...

नमस्ते सदा वत्सले मातृभूमे - संघ प्रार्थना (भारत माता) Namaste sada vatsale lyrics नमस्ते सदा वत्सले मातृभूमे त्वया हिन्दुभूमे सुखवं वर्धितोऽहम्। महामङ्गले पुण्यभूमे त्वदर्थे पतत्वेष कायो नमस्ते नमस्ते॥१॥ प्रभो शक्तिमन् हिन्दुराष्ट्राङ्गभूता इमे सादरं त्वां नमामो वयम् त्वदीयाय कार्याय बद्धा कटीयम् शुभामाशिषं देहि तत्पूर्तये। अजय्यां च विश्वस्य देहीश शक्तिम् सुशीलं जगद्येन नम्रं भवेत् श्रुतं चैव यत्कण्टकाकीर्णमार्गम् स्वयं स्वीकृतं नः सुगंकारयेत्॥२॥ समुत्कर्ष निःश्रेयसस्यैकमुग्रम् परं साधनं नाम वीरव्रतम् तदन्तः स्फुरत्वक्षया ध्येयनिष्ठा हृदन्तः प्रजागर्तु तीव्राऽनिशम्। विजेत्री च नः संहता कार्यशक्तिर् विधायास्य धर्मस्य संरक्षणम् परं वैभवं नेतुमेतत् स्वराष्ट्रम् समर्था भवत्वाशिषा ते भृशम्॥३॥ ॥भारत माता की जय॥

Dalton’s Law of Partial Pressures:  The ideal gas law is: $PV = \mu RT$ (P) = Pressure   (V) = Volume   (mu) = Number of moles of gas   (R) = Universal gas constant   (T) = Temperature   Mixture of Gases :  Suppose we have a mixture of gases: Gas 1, Gas 2, Gas 3, … each with mole numbers ($\mu_1, \mu_2, \mu_3, \dots$). For the whole mixture: $PV = (\mu1 + \mu2 + \mu_3 + \dots) RT \quad (1)$ Breaking It Down Divide both sides by (V): $P = \frac{\mu1 RT}{V} + \frac{\mu2 RT}{V} + \frac{\mu_3 RT}{V} + \dots \quad (2)$ Now, each term represents the pressure contribution of one gas.   So we define: $P_1 = \frac{\mu1 RT}{V}, \quad P2 = \frac{\mu2 RT}{V}, \quad \dots$ These are called partial pressures. Dalton’s Law of Partial Pressures Thus, the total pressure of the mixture is simply the sum of all partial pressures: $P = P1 + P2 + P_3 + \dots \quad (3)$ Intuition :  - Each gas in a mixture behaves independently, as if...

बोल्ट्ज़मैन नियतांक: सूत्र, व्युत्पत्ति, मात्रक, विमा और मान”   बोल्ट्ज़मैन नियतांक (Boltzmann Constant) 1. सूत्र (Formula) $k_B = \frac{R}{N_A}$ जहाँ   R = सार्वत्रिक गैस नियतांक (Universal Gas Constant)   $N_A$= एवोगाड्रो संख्या (Avogadro’s Number) 2. व्युत्पत्ति (Proof / Derivation) आदर्श गैस समीकरण: $PV = nRT$ यहाँ $n = \frac{N}{N_A}$ इसे रखने पर: $PV = \frac{N}{N_A} RT$ अब परिभाषित करते हैं: $k_B = \frac{R}{N_A}$ तो  $PV = Nk_B T$ $k_B = \frac{PV}{NT} = \frac{W}{NT}$ 3. मात्रक (Unit) :  $k_B = \frac{J}{K}$ मात्रक : जूल/ केल्विन इसलिए   4. विमा (Dimension) $[k_B] = \frac{J}{K} = \frac{kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}}{K}$ $[M^1 L^2 T^{-2} \Theta^{-1}]$ 5. मान (Value)  $k_B = \frac{R}{NA}$ $k_B = \frac{8.314 \; J/(mol \cdot K)}{6.022 \times 10^{23} \; mol^{-1}}$ $k_B = 1.380649 \times 10^{-23} \; J/K$ $k_B = 8.617\,333\,262 \times 10^{-5} \; eV/K$ 6. भौतिक महत्व (Physical Significance) बोल्ट्ज़मैन नियतांक किसी कण की औसत ऊर्जा को तापमान ...